Penulis 
Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 No. 11 - 20_Hallo, Sobat Pejuang UN. Kali ini saya akan membahas Soal UN Matematika SMA IPA tahun 2017 part 2. Pada edisi kali ini soal-soalnya berisikan materi tentang :
- Kesamaan Dua Matriks
- Invers Matriks
- Sistem Persamaan Linier
- Nilai Maksimum Fungsi Obyektif_Program Linier
- Nilai Maksimum Fungsi Obyektif_Program Linier
- Pertumbuhan dan Peluruhan
- Barisan dan Deret Geometri
- Barisan dan Deret Aritmetika
- Limit Fungsi Aljabar_Limit 𝒳 Mendekati Tak Hingga
- Limit Fungsi Aljabar
Nah, bagi sobat pejuang UN yang ingin mengetahui pembahasan selanjutnya silahkan sobat klik pada tautan di bawah ini :
1. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.1 No. 1 - 10
2. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.2 No. 11 - 20
3. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.3 No. 21-30
4. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.4 No. 31-40
Soal Nomor 11
Diketahui : matriks $A= \begin{pmatrix}
-2c & 4\\
2 & 5
\end{pmatrix} ; B= \begin{pmatrix}
-4 & -a\\
-b-5 & b
\end{pmatrix} ;
C= \begin{pmatrix}
-1 & 3\\
0 & 2
\end{pmatrix} ; $ dan
$ D= \begin{pmatrix}
4 & 1\\
-2 & 3
\end{pmatrix}.$ Jika $A + B = CD,$ nilai $a + b + c = ......$ A. $-6$
B. $-2$
C. $0$
D. $6$
E. $8$
Pembahasan Soal Nomor 11
BUKA
Penyelesaian :
Mencari Matriks A + B
$\begin {align} A + B & = \begin{pmatrix} -2c & 4\\ 2 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 & -a\\ -b-5 & b \end{pmatrix} \\ \\ & = \begin{pmatrix} -2c - 4 & 4 - a\\ -b - 3 & b + 5 \end{pmatrix} \end {align}$
Mencari Matriks CD
$\begin {align} CD & = \begin{bmatrix} -1 & 3\\ 0 & 2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 4 & 1\\ -2 & 3 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} \left (-1.4 + 3.-2 \right) & \left (-1.1 + 3.3 \right) \\ \left (0.4 + 2.-2 \right) & \left (0.1 + 2.3 \right) \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} -4 - 6 & -1 + 9\\ 0 + -4 & 0 + 6 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} -10 & 8\\ -4 & 6 \end{bmatrix} \end {align}$
Kesamaan Dua Matriks
$\begin {align} A + B & = CD \\ \begin{pmatrix} -2c - 4 & 4 - a\\ -b - 3 & b + 5 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} -10 & 8\\ -4 & 6 \end{pmatrix} \end {align}$
Berdasarkan kesamaan dua matriks di atas, maka di peroleh data sebagai berikut
$\begin {align} 4 - a & = 8 \\ -a & = 8 - 4 \\ -a & = 4 \\ a & = -4 \\ \\ \\ b + 5 & = 6 \\ b & = 6 - 5 \\ b & = 1 \\ \\ \\ -2c - 4 & = -10 \\ -2c & = -10 + 4 \\ -2c & = -6 \\ c & = 3 \end {align}$
Maka nilai $a + b + c$ adalah ....
$\begin {align} a + b + c & = -4 + 1 + 3 \\ & = 0 \end {align}$
Jadi, nilai dari a + b + c adalah $0$
Jawab : C
Mencari Matriks A + B
$\begin {align} A + B & = \begin{pmatrix} -2c & 4\\ 2 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 & -a\\ -b-5 & b \end{pmatrix} \\ \\ & = \begin{pmatrix} -2c - 4 & 4 - a\\ -b - 3 & b + 5 \end{pmatrix} \end {align}$
Mencari Matriks CD
$\begin {align} CD & = \begin{bmatrix} -1 & 3\\ 0 & 2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 4 & 1\\ -2 & 3 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} \left (-1.4 + 3.-2 \right) & \left (-1.1 + 3.3 \right) \\ \left (0.4 + 2.-2 \right) & \left (0.1 + 2.3 \right) \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} -4 - 6 & -1 + 9\\ 0 + -4 & 0 + 6 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} -10 & 8\\ -4 & 6 \end{bmatrix} \end {align}$
Kesamaan Dua Matriks
$\begin {align} A + B & = CD \\ \begin{pmatrix} -2c - 4 & 4 - a\\ -b - 3 & b + 5 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} -10 & 8\\ -4 & 6 \end{pmatrix} \end {align}$
Berdasarkan kesamaan dua matriks di atas, maka di peroleh data sebagai berikut
$\begin {align} 4 - a & = 8 \\ -a & = 8 - 4 \\ -a & = 4 \\ a & = -4 \\ \\ \\ b + 5 & = 6 \\ b & = 6 - 5 \\ b & = 1 \\ \\ \\ -2c - 4 & = -10 \\ -2c & = -10 + 4 \\ -2c & = -6 \\ c & = 3 \end {align}$
Maka nilai $a + b + c$ adalah ....
$\begin {align} a + b + c & = -4 + 1 + 3 \\ & = 0 \end {align}$
Jadi, nilai dari a + b + c adalah $0$
Jawab : C
Soal Nomor 12
Diketahui matriks $A= \begin{pmatrix}
2 & 3\\
3 & 4
\end{pmatrix},
B= \begin{pmatrix}
-5 & -2\\
3 & 2
\end{pmatrix},$ dan matriks $AB = C$. Matriks $C^{-1}$ adalah invers matriks C, maka $C^{-1} = .......$A. $\dfrac {1}{4} \begin{pmatrix} 2 & -2\\ 3 & -1 \end{pmatrix}$
B. $\dfrac {1}{4} \begin{pmatrix} -2 & 2\\ 3 & 1 \end{pmatrix}$
C. $\dfrac {1}{4} \begin{pmatrix} 2 & 2\\ -3 & 1 \end{pmatrix}$
D. $\dfrac {1}{4} \begin{pmatrix} 3 & -2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$
E. $\dfrac {1}{4} \begin{pmatrix} -3 & 2\\ -2 & 1 \end{pmatrix}$
Pembahasan Soal Nomor 12
BUKA
Penyelesaian :
Rumus yang digunakan
Sebelum kita mencari invers matriks C. Pertama-tama kita harus mencari matriks C terlebih dahulu dengan cara mengalikan matriks A dengan matriks B
Mencari Matriks C
$\begin {align} C & = A.B \\ & = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 3 & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -5 & -2\\ 3 & 2 \end{pmatrix} \\ \\ & = \begin{pmatrix} \left (2.-5 + 3.3 \right) & \left (2.-2 + 3.2 \right) \\ \left (3.-5 + 4.3 \right) & \left (3.-2 + 4.2 \right) \end{pmatrix} \\ \\ & = \begin{pmatrix} -10 + 9 & -4 + 6\\ -15 + 12 & -6 + 8 \end{pmatrix} \\ \\ & = \begin{pmatrix} -1 & 2\\ -3 & 2 \end{pmatrix} \end {align}$
Mencari Invers Matriks C
Untuk mencari Invers matriks C, mari kita gunakan rumus Invers matriks di atas.
$\begin {align} C & = \begin{pmatrix} -1 & 2\\ -3 & 2 \end{pmatrix} \\ \\ C^{-1} & = \dfrac {1}{\left (-1.2 \right) - \left (2.-3 \right)} \begin{pmatrix} 2 & -2\\ -\left (-3 \right) & -1 \end{pmatrix} \\ \\ & = \dfrac {1}{-2 + 6} \begin{pmatrix} 2 & -2\\ 3 & -1 \end{pmatrix} \\ \\ & = \dfrac {1}{4} \begin{pmatrix} 2 & -2\\ 3 & -1 \end{pmatrix} \end {align}$
Jadi, invers dari matriks C adalah $\dfrac {1}{4} \begin{pmatrix} 2 & -2\\ 3 & -1 \end{pmatrix}$
Jawab : A
Rumus yang digunakan
Jika $A = \begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}$ Maka $A^{-1} = \dfrac {1}{ad - bc} \begin{pmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{pmatrix}$
Sebelum kita mencari invers matriks C. Pertama-tama kita harus mencari matriks C terlebih dahulu dengan cara mengalikan matriks A dengan matriks B
Mencari Matriks C
$\begin {align} C & = A.B \\ & = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 3 & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -5 & -2\\ 3 & 2 \end{pmatrix} \\ \\ & = \begin{pmatrix} \left (2.-5 + 3.3 \right) & \left (2.-2 + 3.2 \right) \\ \left (3.-5 + 4.3 \right) & \left (3.-2 + 4.2 \right) \end{pmatrix} \\ \\ & = \begin{pmatrix} -10 + 9 & -4 + 6\\ -15 + 12 & -6 + 8 \end{pmatrix} \\ \\ & = \begin{pmatrix} -1 & 2\\ -3 & 2 \end{pmatrix} \end {align}$
Mencari Invers Matriks C
Untuk mencari Invers matriks C, mari kita gunakan rumus Invers matriks di atas.
$\begin {align} C & = \begin{pmatrix} -1 & 2\\ -3 & 2 \end{pmatrix} \\ \\ C^{-1} & = \dfrac {1}{\left (-1.2 \right) - \left (2.-3 \right)} \begin{pmatrix} 2 & -2\\ -\left (-3 \right) & -1 \end{pmatrix} \\ \\ & = \dfrac {1}{-2 + 6} \begin{pmatrix} 2 & -2\\ 3 & -1 \end{pmatrix} \\ \\ & = \dfrac {1}{4} \begin{pmatrix} 2 & -2\\ 3 & -1 \end{pmatrix} \end {align}$
Jadi, invers dari matriks C adalah $\dfrac {1}{4} \begin{pmatrix} 2 & -2\\ 3 & -1 \end{pmatrix}$
Jawab : A
Soal Nomor 13
Di toko yang sama, Dira, Anita, dan Sita membeli alat-alat tulis. Dira membeli 2 buku tulis, 1 pensil, dan 1 penggaris dengan harga Rp.19.000,00. Anita membeli 1 buku tulis, 2 pensil, dan 2 penggaris dengan harga Rp.20.000,00. Sedangkan Sita membeli 3 buku tulis, 2 pensil, dan 1 penggaris dengan harga Rp.28.000,00. Harga yang harus dibayar untuk membeli 1 buku tulis, 3 pensil, dan 2 penggaris adalah .......A. $\text{Rp.23.000,00}$
B. $\text{Rp.24.000,00}$
C. $\text{Rp.25.000,00}$
D. $\text{Rp.27.000,00}$
E. $\text{Rp.33.000,00}$
Pembahasan Soal Nomor 13
BUKA
Penyelesaian :
Misalkan $x, y,$ dan $z$ secara berurutan mewakili buku tulis, pensil, dan penggaris maka model matematikanya adalah ....
$\begin {alignat}{3} \text {Dira} & = 2x + y + z & = 19.000 & \quad \text{pers. 1}\\ \text {Anita} & = x + 2y + 2z & = 20.000 & \quad \text{pers. 2} \\ \text {Sita} & = 3x + 2y + z & = 28.000 & \quad \text{pers. 3} \end {alignat}$
Mencari nilai $x, \; y, \; \text{dan} \; z$
Pertama, kita eleminasi persamaan 1 dan persamaan 2
$\begin{array}{ll|l} 2x + y + z & = 19.000 & \times 2\\ x + 2y + 2z & = 20.000 & \times 1\\ \hline \end{array}$
$\begin{array} {l} 4x + 2y + 2z & = 38.000 \\ x + 2y + 2z & = 20.000 & \left(-\right)\\ \hline \qquad \qquad 3x & = 18.000 \\ \qquad \qquad x & = 6.000 \end{array}$
Kedua, kita eleminasi persamaan 1 dan persamaan 3
$\begin{array} {l} 3x + 2y + z & = 28.000 \\ 2x + y + z & = 19.000 & \left(-\right)\\ \hline \qquad \quad x + y & = 9.000 \\ \quad 6.000 + y & = 9.000 \\ \qquad \qquad y & = 3.000 \end{array}$
Ketiga, kita substitusikan nilai x dan y pada persamaan 1.
$\begin {align} 2x + y + z & = 19.000 \\ 2\left(6.000 \right) + 3.000 + z & = 19.000 \\ 12.000 + 3.000 + z & = 19.000 \\ 15.000 + z & = 19.000 \\ z & = 19.000 - 15.000 \\ z & = 4.000 \end {align}$
Maka, Harga yang harus dibayar untuk membeli 1 buku tulis, 3 pensil, dan 2 penggaris adalah ...
$\begin {align} x + 3y + 2z & = 6000 + 3 \left (3.000 \right) + 2 \left (4.000 \right)\\ & = 6.000 + 9.000 + 8.000 \\ & = 23.000 \end {align}$
Jadi, harga 1 buku tulis, 3 pensil, dan 2 penggaris adalah $\text{Rp.} 23.000,00$
Jawab : A
Misalkan $x, y,$ dan $z$ secara berurutan mewakili buku tulis, pensil, dan penggaris maka model matematikanya adalah ....
$\begin {alignat}{3} \text {Dira} & = 2x + y + z & = 19.000 & \quad \text{pers. 1}\\ \text {Anita} & = x + 2y + 2z & = 20.000 & \quad \text{pers. 2} \\ \text {Sita} & = 3x + 2y + z & = 28.000 & \quad \text{pers. 3} \end {alignat}$
Mencari nilai $x, \; y, \; \text{dan} \; z$
Pertama, kita eleminasi persamaan 1 dan persamaan 2
$\begin{array}{ll|l} 2x + y + z & = 19.000 & \times 2\\ x + 2y + 2z & = 20.000 & \times 1\\ \hline \end{array}$
$\begin{array} {l} 4x + 2y + 2z & = 38.000 \\ x + 2y + 2z & = 20.000 & \left(-\right)\\ \hline \qquad \qquad 3x & = 18.000 \\ \qquad \qquad x & = 6.000 \end{array}$
Kedua, kita eleminasi persamaan 1 dan persamaan 3
$\begin{array} {l} 3x + 2y + z & = 28.000 \\ 2x + y + z & = 19.000 & \left(-\right)\\ \hline \qquad \quad x + y & = 9.000 \\ \quad 6.000 + y & = 9.000 \\ \qquad \qquad y & = 3.000 \end{array}$
Ketiga, kita substitusikan nilai x dan y pada persamaan 1.
$\begin {align} 2x + y + z & = 19.000 \\ 2\left(6.000 \right) + 3.000 + z & = 19.000 \\ 12.000 + 3.000 + z & = 19.000 \\ 15.000 + z & = 19.000 \\ z & = 19.000 - 15.000 \\ z & = 4.000 \end {align}$
Maka, Harga yang harus dibayar untuk membeli 1 buku tulis, 3 pensil, dan 2 penggaris adalah ...
$\begin {align} x + 3y + 2z & = 6000 + 3 \left (3.000 \right) + 2 \left (4.000 \right)\\ & = 6.000 + 9.000 + 8.000 \\ & = 23.000 \end {align}$
Jadi, harga 1 buku tulis, 3 pensil, dan 2 penggaris adalah $\text{Rp.} 23.000,00$
Jawab : A
Soal Nomor 14
Perusahaan mebel memproduksi dua model meja makan. Biaya untuk membuat tiap meja makan model A adalah Rp.1.200.000,00 sedangkan untuk meja makan model B adalah Rp1.600.000,00. Waktu yang diperlukan untuk membuat setiap meja makan model A adalah 2 hari dan tiap meja makan model B adalah 5 hari. Modal yang tersedia sebesar Rp.22.000.000,00 dan waktu yang tersedia adalah 60 hari. Keuntungan tiap meja makan model A adalah Rp.1.000.000,00 sedangkan tiap meja makan model B adalah Rp.1.500.000,00. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah ........A. $\text{Rp.22.500.000,00}$
B. $\text{Rp.21.000.000,00}$
C. $\text{Rp.20.000.000,00}$
D. $\text{Rp.15.000.000,00}$
E. $\text{Rp.9.000.000,00}$
Pembahasan Soal Nomor 14
BUKA
Penyelesaian :
Untuk mempermudah, mari kita susun kedalam bentuk tabel di bawah ini :
Keterangan: angka yang dicoret berarti masing-masing dibagi 400.000.
Berdasarkan tabel bantuan di atas, maka model matematikanya adalah sebagai berikut :
$\begin {alignat}{3} 3x + 4y & = 55 & \quad \text{pers. 1}\\ 2x + 5y & = 60 & \quad \text{pers. 2} \end {alignat}$
Fungsi Obyektif: $U(x, y) = 1.000.000x + 1.500.000y$
Sekarang, kita mencari nilai $x$ dan $y$ dengan mengeleminasi persamaan 1 dan persamaan 2
$\begin{array}{ll|l} 3x + 4y & = 55 & \times 5\\ 2x + 5y & = 60 & \times 4\\ \hline \end{array}$
$\begin{array} {l} 15x + 20y & = 275 \\ 8x + 20y & = 240 & \left(-\right)\\ \hline \qquad \qquad 7x & = 35 \\ \qquad \qquad x & = 5 \end{array}$
Selanjutnya, kita subtitusikan nilai $x = 5$ ke persamaan 1
$\begin {align} 3x + 4y & = 55 \\ 3\left(5 \right) + 4 y & = 55 \\ 15 + 4y & = 55 \\ 4y & = 55 - 15 \\ 4y & = 40 \\ y & = 10 \end {align}$
Dengan demikian, keuntungan maksimum tercapai ketika x = 5 dan y = 10
$\begin {align} U(x, y) & = 1.000.000x + 1.500.000y \\ U(5, 10) & = 1.000.000x + 1.500.000y \\ & = 1.000.000 \left(5\right) + 1.500.000 \left(10\right) \\ & = 5.000.000 + 15.000.000 \\ & = 20.000.000 \end {align}$
Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah $\text {Rp.}20.000.000,00$
Jawab : C
Untuk mempermudah, mari kita susun kedalam bentuk tabel di bawah ini :
Meja
|
Model A
(x) |
Model B
(y) |
|
|---|---|---|---|
Biaya
|
3 |
4 |
55 |
Waktu
|
2
|
5
|
60
|
Keuntungan
|
1.000.000
|
1.500.000
|
-
|
Berdasarkan tabel bantuan di atas, maka model matematikanya adalah sebagai berikut :
$\begin {alignat}{3} 3x + 4y & = 55 & \quad \text{pers. 1}\\ 2x + 5y & = 60 & \quad \text{pers. 2} \end {alignat}$
Fungsi Obyektif: $U(x, y) = 1.000.000x + 1.500.000y$
Sekarang, kita mencari nilai $x$ dan $y$ dengan mengeleminasi persamaan 1 dan persamaan 2
$\begin{array}{ll|l} 3x + 4y & = 55 & \times 5\\ 2x + 5y & = 60 & \times 4\\ \hline \end{array}$
$\begin{array} {l} 15x + 20y & = 275 \\ 8x + 20y & = 240 & \left(-\right)\\ \hline \qquad \qquad 7x & = 35 \\ \qquad \qquad x & = 5 \end{array}$
Selanjutnya, kita subtitusikan nilai $x = 5$ ke persamaan 1
$\begin {align} 3x + 4y & = 55 \\ 3\left(5 \right) + 4 y & = 55 \\ 15 + 4y & = 55 \\ 4y & = 55 - 15 \\ 4y & = 40 \\ y & = 10 \end {align}$
Dengan demikian, keuntungan maksimum tercapai ketika x = 5 dan y = 10
$\begin {align} U(x, y) & = 1.000.000x + 1.500.000y \\ U(5, 10) & = 1.000.000x + 1.500.000y \\ & = 1.000.000 \left(5\right) + 1.500.000 \left(10\right) \\ & = 5.000.000 + 15.000.000 \\ & = 20.000.000 \end {align}$
Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah $\text {Rp.}20.000.000,00$
Jawab : C
Soal Nomor 15
Setiap hari seorang pengrajin tas memproduksi dua jenis tas. Modal untuk tas model I adalah Rp.20.000,00 dengan keuntungan 40%. Modal untuk tas model II adalah Rp.30.000,00 dengan keuntungan 30%. Jika modal yang tersedia setiap harinya adalah Rp.1.000.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi 40 tas, keuntungan terbesar yang dapat dicapai pengrajin tas tersebut adalah ........A. $30\%$
B. $34\%$
C. $36\%$
D. $38\%$
E. $40\%$
Pembahasan Soal Nomor 15
BUKA
Penyelesaian :
Agar lebih mudah dipahami, mari kita susun kedalam bentuk tabel di bawah ini :
Keterangan: angka yang dicoret berarti masing-masing dibagi 10.000.
Berdasarkan tabel bantuan di atas, diperoleh model matematika:
$\begin {alignat}{3} x + y & = 40 & \quad \text{pers. 1}\\ 2x + 3y & = 100 & \quad \text{pers. 2} \end {alignat}$
Fungsi Obyektif $U(x, y) = 8.000x + 9.000y$
Sekarang, kita mencari nilai $x$ dan $y$ dengan mengeleminasi persamaan 1 dan persamaan 2
$\begin{array}{ll|l} x + y & = 40 & \times 2\\ 2x + 3y & = 100 & \times 1\\ \hline \end{array}$
$\begin{array} {l} 2x + 2y & = 80 \\ 2x + 3y & = 100 & \left(-\right)\\ \hline \qquad -y & = -20 \\ \qquad y & = 20 \end{array}$
Selanjutnya, kita subtitusikan nilai $y = 20$ ke persamaan 1
$\begin {align} x + y & = 40 \\ x + 20 & = 40 \\ x & = 40 - 20 \\ x & = 20 \end {align}$
Dengan demikian, keuntungan maksimum akan tercapai saat $x = y = 20$
$\begin {align} U(x, y) & = 8.000x + 9.000y \\ U(20, 20) & = 8.000x + 9.000y \\ & = 8.000 \left(20\right) + 9.000 \left(20\right) \\ & = 160.000 + 180.000 \\ & = 340.000 \end {align}$
Dengan demikian, persentase keuntungan terbesar yang dapat dicapai pengrajin tas tersebut adalah
$\begin {align} \% \text{Untung} & = \dfrac {\text{Untung}}{\text{Harga Beli}} \times 100 \% \\ \\ & = \dfrac {340.000}{1.000.000} \times 100 \% \\ \\ & = 34\% \end {align}$
Jadi, persentase keuntungan terbesar yang dapat dicapai pengrajin tas tersebut adalah $34\%$
Jawab : B
Agar lebih mudah dipahami, mari kita susun kedalam bentuk tabel di bawah ini :
Tas
|
Model I
(x) |
Model II
(y) |
40
|
|---|---|---|---|
Biaya
|
2 |
3 |
100 |
Keuntungan
|
40% × 20.000
= 8.000 |
30% × 30.000
= 9.000 |
-
|
Berdasarkan tabel bantuan di atas, diperoleh model matematika:
$\begin {alignat}{3} x + y & = 40 & \quad \text{pers. 1}\\ 2x + 3y & = 100 & \quad \text{pers. 2} \end {alignat}$
Fungsi Obyektif $U(x, y) = 8.000x + 9.000y$
Sekarang, kita mencari nilai $x$ dan $y$ dengan mengeleminasi persamaan 1 dan persamaan 2
$\begin{array}{ll|l} x + y & = 40 & \times 2\\ 2x + 3y & = 100 & \times 1\\ \hline \end{array}$
$\begin{array} {l} 2x + 2y & = 80 \\ 2x + 3y & = 100 & \left(-\right)\\ \hline \qquad -y & = -20 \\ \qquad y & = 20 \end{array}$
Selanjutnya, kita subtitusikan nilai $y = 20$ ke persamaan 1
$\begin {align} x + y & = 40 \\ x + 20 & = 40 \\ x & = 40 - 20 \\ x & = 20 \end {align}$
Dengan demikian, keuntungan maksimum akan tercapai saat $x = y = 20$
$\begin {align} U(x, y) & = 8.000x + 9.000y \\ U(20, 20) & = 8.000x + 9.000y \\ & = 8.000 \left(20\right) + 9.000 \left(20\right) \\ & = 160.000 + 180.000 \\ & = 340.000 \end {align}$
Dengan demikian, persentase keuntungan terbesar yang dapat dicapai pengrajin tas tersebut adalah
$\begin {align} \% \text{Untung} & = \dfrac {\text{Untung}}{\text{Harga Beli}} \times 100 \% \\ \\ & = \dfrac {340.000}{1.000.000} \times 100 \% \\ \\ & = 34\% \end {align}$
Jadi, persentase keuntungan terbesar yang dapat dicapai pengrajin tas tersebut adalah $34\%$
Jawab : B
Soal Nomor 16
Sebuah unsur radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 30 menit. Jika pada mulanya massa unsur tersebut 20 gram, massa unsur yang meluruh selama 2 jam adalah adalah .........A. 1,25 gram
B. 2,50 gram
C. 10,00 gram
D. 17,50 gram
E. 18,75 gram
Pembahasan Soal Nomor 16
BUKA
Penyelesaian :
Peluruhan adalah berkurangnya suatu nilai dengan faktor pembagi yang tetap dalam setiap periode. Peluruhan dirumuskan sebagai:
$\bbox[yellow,5px,border:1px solid red] {L_{n} = L_{0} (1 − r)^{n} \qquad (1)}$
Dengan :
$L_{n}$ : sisa setelah meluruh n periode
$L_{0}$ : awal peluruhan
$r$ : faktor pembagi
$n$ : periode peluruhan
Diketahui :
$L_{0}$ = 20 gram
$r = 1/2$
Peluruhan terjadi setiap 30 menit, berarti selama 2 jam (120 menit) periode peluruhannya adalah:
$n = \dfrac {120}{30} = 4$
Sisa unsur radioaktif tersebut setelah meluruh 2 jam adalah:
$\begin {align} L_{n}& = L_{0} \left (1 − r \right)^{n} \\ & = 20 \left (1 − \frac{1}{2} \right)^{4} \\ & = 20 \times \left (\frac {1}{2} \right)^{4} \\ & = 20 \times \frac {1}{16} \\ & = 1,25 \end {align}$
Dengan demikian, massa unsur yang meluruh adalah:
$\begin {align} L_{0} − L_{n} & = 20 − 1,25 \\ & = 18,75 \end {align}$
Jadi, massa unsur yang meluruh selama 2 jam adalah $\text {18,75 gram}$.
Jawab : E
Peluruhan adalah berkurangnya suatu nilai dengan faktor pembagi yang tetap dalam setiap periode. Peluruhan dirumuskan sebagai:
$\bbox[yellow,5px,border:1px solid red] {L_{n} = L_{0} (1 − r)^{n} \qquad (1)}$
Dengan :
$L_{n}$ : sisa setelah meluruh n periode
$L_{0}$ : awal peluruhan
$r$ : faktor pembagi
$n$ : periode peluruhan
Diketahui :
$L_{0}$ = 20 gram
$r = 1/2$
Peluruhan terjadi setiap 30 menit, berarti selama 2 jam (120 menit) periode peluruhannya adalah:
$n = \dfrac {120}{30} = 4$
Sisa unsur radioaktif tersebut setelah meluruh 2 jam adalah:
$\begin {align} L_{n}& = L_{0} \left (1 − r \right)^{n} \\ & = 20 \left (1 − \frac{1}{2} \right)^{4} \\ & = 20 \times \left (\frac {1}{2} \right)^{4} \\ & = 20 \times \frac {1}{16} \\ & = 1,25 \end {align}$
Dengan demikian, massa unsur yang meluruh adalah:
$\begin {align} L_{0} − L_{n} & = 20 − 1,25 \\ & = 18,75 \end {align}$
Jadi, massa unsur yang meluruh selama 2 jam adalah $\text {18,75 gram}$.
Jawab : E
Soal Nomor 17
Suku kedua dan kelima suatu barisan geometri adalah 3 dan 81. Jumlah n suku pertama barisan tersebut adalah .........A. $3^{n+1} − 3$
B. $3^{n+1} − 1$
C. $2.3^{n} − 1$
D. $\dfrac {1}{2} \left(3^{n} − 1 \right)$
E. $\dfrac {1}{3} \left(3^{n} − 1 \right)$
Pembahasan Soal Nomor 17
BUKA
Penyelesaian :
Diketahui:
$\begin {align} U_{2} & = 3 \\ U_{5} & = 81 \end {align}$
Mencari Rasio
$\begin{align} U_{5} & = U_{2} \times r^{5-2} \\ 81 & = 3.r^{3}\\ \dfrac{81}{3} & = r^{3} \\ 27 & = r^{3} \\ r & = \sqrt[3]{27}\\ r & = 3 \end {align}$
Mencari suku pertama
$\begin {align} U_{2}& = a.r \\ 3 & = a.3 \\ a & = 1 \end {align}$
Jumlah n suku pertama deret geometri dengan rasio lebih dari 1 $(r > 1)$ dirumuskan sebagai berikut:
$\bbox[yellow,5px,border:1px solid red] {S_{n} = \dfrac {a \left(r^{n} - 1\right)}{r-1} \qquad (1)} \\ \\ \begin {align} S_{n} & = \dfrac {1 \left(3^{n} - 1\right)}{3-1} \\ & = \dfrac {1}{2} \left(3^{n} - 1\right)\\ \end {align}$
Jadi, jumlah n suku pertama barisan tersebut adalah $\dfrac {1}{2} \left(3^{n} - 1\right)$
Jawab : D
Diketahui:
$\begin {align} U_{2} & = 3 \\ U_{5} & = 81 \end {align}$
Mencari Rasio
$\begin{align} U_{5} & = U_{2} \times r^{5-2} \\ 81 & = 3.r^{3}\\ \dfrac{81}{3} & = r^{3} \\ 27 & = r^{3} \\ r & = \sqrt[3]{27}\\ r & = 3 \end {align}$
Mencari suku pertama
$\begin {align} U_{2}& = a.r \\ 3 & = a.3 \\ a & = 1 \end {align}$
Jumlah n suku pertama deret geometri dengan rasio lebih dari 1 $(r > 1)$ dirumuskan sebagai berikut:
$\bbox[yellow,5px,border:1px solid red] {S_{n} = \dfrac {a \left(r^{n} - 1\right)}{r-1} \qquad (1)} \\ \\ \begin {align} S_{n} & = \dfrac {1 \left(3^{n} - 1\right)}{3-1} \\ & = \dfrac {1}{2} \left(3^{n} - 1\right)\\ \end {align}$
Jadi, jumlah n suku pertama barisan tersebut adalah $\dfrac {1}{2} \left(3^{n} - 1\right)$
Jawab : D
Soal Nomor 18
Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan masing-masing potongan membentuk deret aritmetika. Bila potongan tali terpendek adalah $6\; \mathrm{cm}$ dan yang terpanjang $384\; \mathrm{cm}$, panjang tali semula adalah .......A. $1.375\; \mathrm{cm}$
B. $1.365\; \mathrm{cm}$
C. $1.265\; \mathrm{cm}$
D. $1.245\; \mathrm{cm}$
E. $762\; \mathrm{cm}$
Pembahasan Soal Nomor 18
BUKA
Penyelesaian :
Diketahui :
$\begin {align} n & = 7 \\ a & = 6 \; \text{cm} \\ U_{7} & = 384\; \mathrm{cm} \end {align}$
Panjang tali semula adalah panjang tali sebelum dipotong menjadi 7 atau sama dengan jumlah ke-7 potongan tersebut
$\begin {align} S_{n}& = \dfrac {n}{2}\left(a+U_{n}\right) \\ S_{7}& = \dfrac {7}{2}\left(6+U_{7}\right) \\ & = \dfrac {7}{2}\left(6+384\right) \\ & = \dfrac {7}{2}\left(390\right) \\ & = 1365 \end {align}$
Jadi, panjang tali semula adalah $1.365\; \mathrm{cm}$
Jawab : B
Diketahui :
$\begin {align} n & = 7 \\ a & = 6 \; \text{cm} \\ U_{7} & = 384\; \mathrm{cm} \end {align}$
Panjang tali semula adalah panjang tali sebelum dipotong menjadi 7 atau sama dengan jumlah ke-7 potongan tersebut
$\begin {align} S_{n}& = \dfrac {n}{2}\left(a+U_{n}\right) \\ S_{7}& = \dfrac {7}{2}\left(6+U_{7}\right) \\ & = \dfrac {7}{2}\left(6+384\right) \\ & = \dfrac {7}{2}\left(390\right) \\ & = 1365 \end {align}$
Jadi, panjang tali semula adalah $1.365\; \mathrm{cm}$
Jawab : B
Soal Nomor 19
Nilai $\lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{4x^{2} + 4x - 3} -2x + 3\right)$ adalah ........A. $-4$
B. $-2$
C. $0$
D. $2$
E. $4$
Pembahasan Soal Nomor 19
BUKA
Rumus yang digunakan :
Rumus Alternatif Limit $x$ Mendekati Tak Hingga
&space;-&space;\left&space;(\sqrt{px^{2}+qx+r}\right&space;)&space;\\&space;\\&space;=&space;\left\{\begin{matrix}&space;\infty,&space;&&space;\text{jika}&space;&&space;a>p\\&space;\\&space;\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}},&space;&&space;\text{jika}&space;&&space;a=p\\&space;\\&space;-&space;\infty,&&space;\text{jika}&space;&&space;a<p\\&space;\\&space;0,&space;&&space;\text{jika}&space;&&space;a=p,b=q&space;\end{matrix}\right. "\lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{ax^{2}+bx+c}\right ) - \left (\sqrt{px^{2}+qx+r}\right ) \\ \\ = \left\{\begin{matrix} \infty, & \text{jika} & a>p\\ \\ \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}, & \text{jika} & a=p\\ \\ - \infty,& \text{jika} & a<p\\ \\ 0, & \text{jika} & a=p,b=q \end{matrix}\right.")
Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan tipe soal limit seperti di atas, yang harus kita lakukan adalah merubah atau memodifikasi bentuk soal di atas menjadi sedemikian rupa sehingga menjadi bentuk soal limit pada rumus di atas.
Cara untuk mengubahnya pun cukup sederhana, silahkan anda gunakan prinsip dasar di bawah ini :
$ \bbox[yellow,5px,border:1px solid red] { a = \sqrt {a^{2}} \qquad (1) } $
Sekarang, mari kita selesaikan soal di atas dengan menggunakan prinsip dasar tersebut
$\begin {align} & \quad \lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{4x^{2} + 4x - 3} -2x + 3\right)\\ \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{4x^{2} + 4x - 3} - \left (2x - 3\right) \right) \\ \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{4x^{2}+4x-3}\right ) - \left (\sqrt{\left (2x-3\right)^{2}}\right) \\ \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{{\color{blue}{4}}x^{2}{\color{red}{+4}}x-3} - \sqrt{4x^{2}{\color{red}{-12}}x+9} \right)\\ \\ & = \dfrac {{\color{red}{b-q}}}{2 \sqrt{{\color{blue}{a}}}} \\ \\ & = \dfrac {{\color{red}{4-\left(-12\right)}}}{2 \sqrt{{\color{blue}{4}}}} \\ \\ & = \dfrac {16}{4} \\ \\ & = 4 \end {align}$
Jadi, nilai dari limit fungsi tersebut adalah $4$
Jawab : E
Rumus Alternatif Limit $x$ Mendekati Tak Hingga
Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan tipe soal limit seperti di atas, yang harus kita lakukan adalah merubah atau memodifikasi bentuk soal di atas menjadi sedemikian rupa sehingga menjadi bentuk soal limit pada rumus di atas.
Cara untuk mengubahnya pun cukup sederhana, silahkan anda gunakan prinsip dasar di bawah ini :
$ \bbox[yellow,5px,border:1px solid red] { a = \sqrt {a^{2}} \qquad (1) } $
Sekarang, mari kita selesaikan soal di atas dengan menggunakan prinsip dasar tersebut
$\begin {align} & \quad \lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{4x^{2} + 4x - 3} -2x + 3\right)\\ \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{4x^{2} + 4x - 3} - \left (2x - 3\right) \right) \\ \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{4x^{2}+4x-3}\right ) - \left (\sqrt{\left (2x-3\right)^{2}}\right) \\ \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{{\color{blue}{4}}x^{2}{\color{red}{+4}}x-3} - \sqrt{4x^{2}{\color{red}{-12}}x+9} \right)\\ \\ & = \dfrac {{\color{red}{b-q}}}{2 \sqrt{{\color{blue}{a}}}} \\ \\ & = \dfrac {{\color{red}{4-\left(-12\right)}}}{2 \sqrt{{\color{blue}{4}}}} \\ \\ & = \dfrac {16}{4} \\ \\ & = 4 \end {align}$
Jadi, nilai dari limit fungsi tersebut adalah $4$
Jawab : E
Soal Nomor 20
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 2 } \dfrac {2 - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 6x + 8}$ adalah ........A. $- \dfrac {1}{2}$
B. $- \dfrac {1}{8}$
C. $ \dfrac {1}{8}$
D. $\dfrac {1}{4}$
E. $\dfrac {1}{2}$
Pembahasan Soal Nomor 20
BUKA
Penyelesaian :
Jika ada soal limit fungsi aljabar yang berbentuk pecahan akar atau irrasional maka cara untuk menyelesaikan soal tersebut adalah dengan mengalikan bilangan sekawannya.
CARA 1 (Cara Biasa)
$\begin {align} &\quad \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {2 - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 6x + 8} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {2 - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 6x + 8} \times \dfrac {2 + \sqrt{x + 2}}{2 + \sqrt{x + 2}} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {4 - x - 2}{x^{2} - 6x + 8 \left(2 + \sqrt{x + 2}\right)} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {- x + 2}{x^{2} - 6x + 8 \left(2 + \sqrt{x + 2}\right)} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {-1 {\color{red}{\left(x - 2\right)}}}{{\color{red}{\left(x-2\right)}} \left(x-4\right) \left(2 + \sqrt{x + 2}\right)} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } - \dfrac {1}{\left(x-4\right) \left(2 + \sqrt{x + 2}\right)} \\ \\ & = - \dfrac {1}{\left(2-4\right) \left(2 + \sqrt{2 + 2}\right)} \\ \\ & = - \dfrac {1}{\left(-2\right) \left(4 \right)} \\ \\ & = \dfrac {1}{8} \end {align}$
Cara 2 (Menggunakan Turunan)
$\begin {align} &\quad \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {2 - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 6x + 8} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {2 - \left(x + 2\right)^{1/2}}{x^{2} - 6x + 8} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {-\dfrac {1}{2} \left(x + 2\right)^{-1/2}}{2x-6} \\ \\ & = \dfrac {-\dfrac {1}{2} \left(2 + 2\right)^{-1/2}}{2.2-6} \\ \\ & = \dfrac {-\dfrac {1}{2}\left(4\right)^{-1/2} }{-2} \\ \\ & = \dfrac {-\dfrac {1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{4}}\right)}{-2} \\ & = - \dfrac {1}{4} \times - \dfrac {1}{2} \\ & = \dfrac {1}{8} \end {align}$
Jadi, nilai limit fungsi tersebut adalah $\dfrac {1}{8}$
Jawab : C
Jika ada soal limit fungsi aljabar yang berbentuk pecahan akar atau irrasional maka cara untuk menyelesaikan soal tersebut adalah dengan mengalikan bilangan sekawannya.
CARA 1 (Cara Biasa)
$\begin {align} &\quad \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {2 - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 6x + 8} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {2 - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 6x + 8} \times \dfrac {2 + \sqrt{x + 2}}{2 + \sqrt{x + 2}} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {4 - x - 2}{x^{2} - 6x + 8 \left(2 + \sqrt{x + 2}\right)} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {- x + 2}{x^{2} - 6x + 8 \left(2 + \sqrt{x + 2}\right)} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {-1 {\color{red}{\left(x - 2\right)}}}{{\color{red}{\left(x-2\right)}} \left(x-4\right) \left(2 + \sqrt{x + 2}\right)} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } - \dfrac {1}{\left(x-4\right) \left(2 + \sqrt{x + 2}\right)} \\ \\ & = - \dfrac {1}{\left(2-4\right) \left(2 + \sqrt{2 + 2}\right)} \\ \\ & = - \dfrac {1}{\left(-2\right) \left(4 \right)} \\ \\ & = \dfrac {1}{8} \end {align}$
Cara 2 (Menggunakan Turunan)
$\begin {align} &\quad \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {2 - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 6x + 8} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {2 - \left(x + 2\right)^{1/2}}{x^{2} - 6x + 8} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {-\dfrac {1}{2} \left(x + 2\right)^{-1/2}}{2x-6} \\ \\ & = \dfrac {-\dfrac {1}{2} \left(2 + 2\right)^{-1/2}}{2.2-6} \\ \\ & = \dfrac {-\dfrac {1}{2}\left(4\right)^{-1/2} }{-2} \\ \\ & = \dfrac {-\dfrac {1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{4}}\right)}{-2} \\ & = - \dfrac {1}{4} \times - \dfrac {1}{2} \\ & = \dfrac {1}{8} \end {align}$
Jadi, nilai limit fungsi tersebut adalah $\dfrac {1}{8}$
Jawab : C
Demikianlah pembahasan soal UN Matematika SMA IPA 2017 part.2 No. 11 - 20 dan jangan lupa kunjungi artikel menarik lainnya di blog ini.
NEXT :
Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.3 No. 21 - 30
Terima kasih telah berkunjung dan meluangkan waktunya untuk membaca artikel sederhana ini yang berjudul "Pembahasan Soal UN Matematika SMA No. 11 - 20". Semoga informasi yang terkandung dalam tulisan ini dapat bermanfaat bagi anda yang membutuhkannya.
Salam sukses untuk kita semua....!!!
Note : Silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.
EmoticonEmoticon