Bilangan Berpangkat : Pengertian, Sifat-sifat dan Contoh Soalnya

Bilangan Berpangkat : Pengertian, Sifat-sifat dan Contoh Soalnya_Hallo sobat matematikasma.com, pada kesempatan kali ini kita akan membahas materi Bilangan Berpangkat atau Eksponen. Materi ini masuk ke dalam BAB BENTUK PANGKAT, AKAR, dan LOGARITRMA kelas 10 SMK.

Nah bagi adik-adik kelas 10 tentu materi ini sudah tidak asing lagi karena materi bilangan berpangkat sudah kalian pelajari dasarnya di waktu SD dan SMP.  Apakah adik-adik masih ingat diwaktu SD dulu, adik-adik telah mempelajari bilangan berpangkat dua dan dibangku SMP adik-adik telah mempelajari  materi bilangan berpangkat lebih dalam lagi. Bagaimana mudahkan materi bilangan berpangkat ini.

Di kelas 10 ini, kita akan mempelajari materi ini secara mendalam lagi. Di artikel ini admin akan membahas materinya mulai dari pengertian bilangan berbangkat, sifat-sifat bilangan berpangkat dan contoh soal bilangan berpangkat yang disertai dengan pembahasannya.

A. PENGERTIAN BILANGAN BERPANGKAT / EKSPONEN

Bilangan berpangkat/Eksponen adalah perkalian berulang dari suatu bilangan yang sama. Bilangannya dapat berupa bilangan pangkat bulat positif, nol atau bulat negatif.

Bentuk umum Eksponen adalah

$\text{a}^{n} = a \times a \times a \times ....\times a$

Keterangan :

a = bilangan pokok/basis

n = Pangkat

$a^{n}$= Bil. berpangkat (dibaca a pangkat n)

B. BENTUK BILANGAN BERPANGKAT / EKSPONEN

Bentuk bilangan berpangkat ada tiga jenis yaitu bilangan pangkat bulat positif, pangkat bulat Nol, dan pangkat negatif. Mari kita bahas satu persatu:

1. PANGKAT BULAT POSITIF

Jika a bilangan real dan n bilangan bulat positif, maka $a^{n}$ (dibaca a pangkat n didefinisikan perkalian berulang a sebanyak n faktor.

$\text{a}^{n} = \underbrace{a \times a \times a \times ....\times a}_{n\text{ faktor}}$

Keterangan :

a = bilangan pokok/basis

n = Pangkat

$a^{n}$= Bil. berpangkat (dibaca a pangkat n)

Contoh:

$ \underbrace{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 }_{n\text{ faktor}} = 2^{5}$

2. PANGKAT NOL

Jika nilai a merupakan bilangan riil serta $a \neq 0$ (a tidak sama dengan 0), maka:

$a^{0} = 1$

Pembuktian

$ \begin{align}a^{0} & = a^{n-n} \\ & = \dfrac{a^{n}}{a^{n}} \\ & = \dfrac {\overbrace{a \times a \times a \times ....\times a}^{n\text{ faktor}}}{\underbrace{a \times a \times a \times ....\times a}_{n\text{ faktor}}} \\ & = 1 \end{align}$

3. PANGKAT BULAT NEGATIF

Jika a adalah bilangan riil, $a \neq 0$ (a tidak sama dengan 0), n adalah bilangan bulat positif, dan –n adalah bilangan bulat negative, maka :

$ a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}$ atau $a^{n} = \dfrac{1}{a^{-n}}$

C. SIFAT-SIFAT BILANGAN BERPANGKAT / EKSPONEN

Jika a,b adalah bilangan riil dan m, n adalah bilangan bulat, berlaku sifat-sifat berikut :

1. $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$
2. $a^{m} \div a^{n} = \dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$
3. $\left(a^{m}\right)^{n} = a^{m \times n}$
4. $\left(a . b \right)^n = a^{n} \times b^{n}$
5. $\left(\dfrac{a}{b} \right)^{m}= \dfrac{a^{m}}{b^{m}} $ dengan $b \neq 0$
6. $\sqrt[m]{a^{n}} = a^{\frac{n}{m}}$
7. $a^{-m} = \dfrac{1}{a^{m}}$
8. $a^{0} = 1$ dengan $a \neq 0$

D. CONTOH SOAL BILANGAN BERPANGKAT

Contoh Soal Nomor 1

Sederhanakanlah bilangan berpangkat di bawah ini :

a. $7^{3} . 7^{5} .7^{2}$

b. $5^{7}. 5^{4}. 5^{-3}$

c. $2^{10} : 2^{8}$

d. $3^{8} : 3^{-2}$

e. $(2^{4})^{5} . 2^{3}$

Pembahasan Contoh Soal Nomor 1

BUKA Hint

Penyelesaian :

a. $7^{3} . 7^{5} .7^{2} = 7^{3+5+2} = 7^{10}$

b. $5^{7}. 5^{4}. 5^{-3} = \dfrac{5^{7+4}}{5^{3}} = 5^{11-3} = 5^{8}$

c. $2^{10} : 2^{8} = 2^{10-8} = 2^{2}$

d. $3^{8} : 3^{-2} = \dfrac{3^{8}}{3^{-2}} = 3^{8+2} = 3^{10}$

e. $(2^{4})^{5} . 2^{3} = 2^{4\times5}. 2^{3} = 2^{20}.2^{3} = 2^{23}$

Contoh Soal Nomor 2

Sederhanakanlah bilangan berpangkat di bawah ini :

a.$\left[\dfrac{3a^{-2}b^{3}c^{4}}{15a^{3}b^{-5}c^{-2}} \right]^{-1}$

b.$\left [\dfrac{8p^{-3}q^{-2}}{16p^{-1}q^{-4}} \right]^{-2}$

c. $\dfrac{\left (x^{2}y^{3}z^{-6} \right)^{2}}{\left (x^{-2}y^{6}z^{3} \right)^{3}}$

Pembahasan Contoh Soal Nomor 2

BUKA Hint

Penyelesaian :
a.

$ \begin{align} & = \left[\dfrac{3a^{-2}b^{3}c^{4}}{15a^{3}b^{-5}c^{-2}} \right]^{-1} \\ \\ & = \left[\dfrac{15a^{3}b^{-5}c^{-2}}{3a^{-2}b^{3}c^{4}} \right] \\ \\ & = \left[\dfrac{\require{cancel} \cancel{\color{red}{15}}a^{(3+2)}b^{(-5-3)}c^{(-2-4)}}{\require{cancel} \cancel{\color{red}{3}}} \right] \\ \\ & = 5a^{5}b^{-8}c^{-6} \\ \\ & = \dfrac{5a^{5}}{b^{8}c^{6}} \end{align}$

b.

$ \begin{align} & = \left [\dfrac{8p^{-3}q^{-2}}{16p^{-1}q^{-4}} \right]^{-2} \\ \\ & = \left [\dfrac{16p^{-1}q^{-4}}{8p^{-3}q^{-2}} \right]^{2} \\ \\ & = \left [\dfrac{\require{cancel} \cancel{\color{red}{16}}p^{(-1+3)}q^{(-4+2)}}{\require{cancel} \cancel{\color{red}{8}}} \right]^{2} \\ \\ & = \left [2p^{2}q^{-2} \right]^{2} \\ \\ & = 2^{2}p^{4}q^{-4} \\ \\ & = \dfrac{4p^{4}}{q^{4}} \\ \\ & = 4\left[ \dfrac{p}{q} \right]^{4} \end{align}$

c.

$ \begin{align} & =\dfrac{\left (x^{2}y^{3}z^{-6} \right)^{2}}{\left (x^{-2}y^{6}z^{3} \right)^{3}} \\ \\ & = \dfrac{\left [x^{4}y^{6}z^{-12} \right]}{\left [x^{-6}y^{18}z^{9} \right]} \\ \\ & = x^{(4+6)}y^{(6-18)}z^{(-12-9)} \\ \\ & = x^{10}y^{-12}z^{-21} \\ \\ & = \dfrac{x^{10}}{y^{12}z^{21}} \end{align}$

Demikianlah pembahasan singkat materi pengertian bilangan berbangkat, sifat-sifat bilangan berpangkat dan contoh soal bilangan berpangkat yang disertai dengan pembahasannya.

Semoga dengan diberikannya pembahasan beberapa contoh soal bilangan berpangkat/eksponen beserta jawabannya dapat membantu sobat matematikasma.com dalam belajar matematika khususnya pada materi bilangan berpangkat/eksponen.

Terima kasih telah berkunjung dan meluangkan waktunya untuk membaca artikel singkat ini yang berjudul "Bilangan Berpangkat : Pengertian, Sifat-sifat dan Contoh Soalnya". Semoga informasi yang terkandung dalam tulisan ini dapat bermanfaat bagi anda yang membutuhkannya.

Salam Sukses & Happy Learning....!!!

Note : Silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.